Piézoélectricité

La piézoélectricité est la propriété que possèdent certains corps de se polariser électriquement sous l'action d'une contrainte mécanique et réciproquement de se déformer quand on leur applique un champ électrique.


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Matériau piézoélectrique - Matériau - Électricité - Physique du solide

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  • L'effet piézoélectrique a été étudié par Pierre Curie. Quelques exemple de matériaux possédant des propriétés piézoélectriques :... (source : futura-sciences)
  • Les effets piézoélectriques direct et inverse apparaissent comme, respectivement, ... La piézoélectricité est la naissance, dans certains matériaux, ... (source : books.google)
  • ... Alors que l'électrostriction n'est pas réversible, la piézoélectricité est caractérisée par une réciprocité de l'effet direct (application... (source : michel.hubin.pagesperso-orange)
Illustration du comportement d'une pastille piézoélectrique : la contrainte appliquée crée un signal électrique.

La piézoélectricité (du grec piézein presser, appuyer) est la propriété que possèdent certains corps de se polariser électriquement sous l'action d'une contrainte mécanique et réciproquement de se déformer quand on leur applique un champ électrique. Les deux effets sont indissociables. Le premier est nommé effet piézoélectrique direct ; le second effet piézoélectrique inverse. Cette propriété trouve un très grand nombre d'applications dans l'industrie et la vie quotidienne. Une application parmi les plus familières est l'allume-gaz. Dans un allume-gaz, la pression exercée produit une tension électrique qui se décharge brutalement sous forme d'étincelles : c'est une application de l'effet direct. De manière plus générale, l'effet direct peut être mis à profit dans la réalisation de capteurs (capteur de pression etc. ) alors que l'effet inverse sert à réaliser des actionneurs (injecteurs à commande piézoélectrique en automobile, nanomanipulateur…).

Les matériaux piézoélectriques sont particulièrement nombreux. Le plus connu est probablement le quartz, toujours utilisé actuellement dans les montres pour générer des impulsions d'horloge. Mais ce sont des céramiques synthétiques, les PZT qui sont le plus largementutilisées actuellement dans l'industrie.

Soulignons enfin que l'effet piézoélectrique inverse ne doit pas être confondu avec l'électrostriction qui est un effet du second ordre et existe dans l'ensemble des matériaux.

Aspects historiques

Travaux précurseurs

Au milieu du XVIIIe siècle, Carl von Linné et Franz Æpinus avaient étudié l'effet pyroélectrique, par lequel un changement de température entraîne une variation de la polarisation électrique d'un cristal. Le cristal type présentant cet effet est alors la tourmaline : en chauffant un cristal de tourmaline, on fait apparaître sur ses deux faces de l'électricité. La nature de l'électricité est différente sur une face et sur l'autre, vitreuse et résineuse selon les termes de l'époque (on parlerait actuellement de charges positives et négatives).

En 1817, l'abbé René-Just Haüy, qui a étudié en détail la pyroélectricité dans différents minéraux, décrit la découverte de ce qu'il nomme alors «l'électricité de pression» sur le spath d'Islande : en comprimant un cristal entre les doigts, il est envisageable de faire apparaître de l'électricité sur les faces du cristal. Antoine Becquerel poursuit l'étude du phénomène, il identifie plusieurs autres minéraux présentant cette propriété et montrera avec une balance de Coulomb que l'électricité ainsi produite est dans une certaine gamme à peu près proportionnelle à la pression exercée[1], [2].

Au contraire de la pyroélectricité, Haüy observe que c'est le même type d'électricité qui est produite sur les deux faces du cristal. Cela suffit à dire que le phénomène découvert par Haüy n'est pas de la piézoélectricité. Le spath d'Islande n'est d'ailleurs pas piézoélectrique[3]. Lorsqu'il s publieront leurs travaux sur le quartz, les Curie se démarqueront des travaux de Haüy, attribuant l'électricité de pression à un effet de surface.

L'électricité de pression de Haüy aura été pendant une cinquantaine d'années une propriété parmi d'autres servant à classer les minéraux[4]. Mais le caractère incertain et difficilement reproductible de cet effet le fera tomber dans l'oubli avec la découverte de la piézoélectricité. Au début du XXe siècle, les manuels de minéralogie ne feront plus mention de l'électricité de pression de Haüy.

Découverte de l'effet piézoélectrique

Pierre Curie (photo) et son frère Jacques firent la première démonstration expérimentale de l'effet piézoélectrique.

La première démonstration de l'effet piézoélectrique direct est due à Pierre et Jacques Curie en 1880. À cette époque, les deux frères, âgés respectivement de 21 et 25 ans, sont tous deux préparateurs à la faculté des sciences de Paris. Combinant leurs connaissances de la pyroélectricité et de la structure cristalline, ils prédirent et vérifièrent l'existence de la piézoélectricité sur des cristaux de quartz, de tourmaline, de topaze, de sucre et de sel de Rochelle. L'existence de l'effet inverse fut prédite l'année suivante par Gabriel Lippman sur la base de calculs thermodynamiques[5], et immédiatement vérifiée par les Curie[6]. C'est aussi en 1881 que Hermann Hankel suggéra l'utilisation du terme piézoélectricité du grec piézein signifiant presser, appuyer[7].

La piézoélectricité resta une curiosité de laboratoire pendant une trentaine d'années ; elle donna en particulier lieu à des travaux théoriques sur les structures cristallines présentant cette propriété. Ces travaux aboutirent en 1910 à la publication par Woldemar Voigt du Lehrbuch der Kristallphysik qui donne les vingt classes cristallines piézoélectriques, et définit rigoureusement les constantes piézoélectriques dans le formalisme de l'analyse tensorielle.

D'un point de vue pratique, la piézoélectricité ne fut utilisée que pour réaliser quelques instruments de laboratoire.

Premières applications

La première application de la piézoélectricité fut le sonar développé par Paul Langevin et ses collaborateurs au cours de la Première Guerre mondiale. Ce sonar était composé de lames de quartz collées entre deux plaques d'acier et d'un hydrophone et permettait, par la mesure du temps écoulé entre l'émission d'une onde acoustique et la réception de son écho, de calculer la distance à l'objet[8]. Peu de temps après, au début des années 1920, le premier oscillateur à quartz est mis au point par Walter Cady, ouvrant ainsi la voie au contrôle de fréquence[9].

Le succès de ces projets suscita un grand intérêt pour la piézoélectricité, relança les recherches et conduisit à travers les années qui suivirent au développement de nouveaux systèmes pour une large palette d'applications dans la vie quotidienne, l'industrie et la recherche. Le perfectionnement du phonographe ou le développement du réflectomètre et du transducteur acoustique, beaucoup utilisé pour les mesures de dureté ou de viscosité, en sont des exemples.

Pendant cette période, les principaux matériaux utilisés sont le quartz, le sel de Seignette et le dihydrogène phosphate de potassium KH2PO4. Or, s'ils peuvent être utilisés, ces matériaux présentent cependant des inconvénients qui limitent à la fois les applications envisageables et l'élaboration de théories de la piézoélectricité.

Découverte des oxydes ferroélectriques

Au cours de la Seconde Guerre mondiale, la recherche de matériaux diélectriques plus performants amena différents groupes de recherche au Japon, aux États-Unis et en Russie à découvrir les propriétés piézoélectriques de céramiques de synthèse composées d'oxydes à structure pérovskite : le titanate de baryum (BaTiO3) puis légèrement plus tard les titano-zirconate de plomb (PbZrxTi1-xO3, abrégé en PZT). La mise au point de ces matériaux représente une étape décisive dans le développement des systèmes piézoélectriques[10]. En effet, leurs propriétés sont globalement bien meilleures ; ils ont des cœfficients piézoélectriques de l'ordre de 100 fois supérieurs à ceux des cristaux naturels. Mais en particulier, il est envisageable avec ces céramiques synthétiques de jouer sur différents paramètres de synthèse et ainsi d'ajuster les propriétés du matériau pour une application précise. Surtout, le dopage par divers ions métalliques sert à modifier énormément leur constante diélectrique, leur dureté, leur usinabilité, etc.

D'un point de vue théorique, ces matériaux forment aussi les premiers ferroélectriques simples qui vont permettre d'élaborer et valider les modèles microscopiques.

Un nouveau saut a été effectué au début des années 1980 avec la synthèse des cristaux de PZN-PT et PMN-PT qui présentent les cœfficients piézoélectriques les plus élevés connus à ce jour.

Sujets de recherche

Aujourd'hui, les recherches sur les matériaux piézoélectriques portent surtout sur la compréhension précise de ces propriétés exceptionnelles, leur optimisation, mais aussi sur le développement de matériaux sans plomb ou de matériaux utilisables dans une plus large gamme de températures.

Matériaux piézoélectriques

De nombreux cristaux naturels présentent des propriétés piézoélectriques. On peut citer le quartz, la topaze, la tourmaline, la berlinite (AlPO4) ou le sucre. Dans la pratique, les matériaux utilisés pour la fabrication des différents systèmes sont des matériaux de synthèse qu'on peut classer selon leur structure cristallographique ou leur composition chimique.

Oxydes

Maille cristalline d'un cristal de structure pérovskite : PbTiO3

Les matériaux ferroélectriques de structure pérovskite occupent une large place dans la palette des oxydes piézoélectriques. Ils ont pour formule générale ABO3. On les représente par un empilement d'octaèdres liés par leurs sommets. Les anions oxygène forment les sommets des octaèdres alors que les cations B et A occupent respectivement leur centre et les sites entre les octaèdres. De nombreux ferroélectriques modèles appartiennent à cette famille : le titanate de plomb PbTiO3, le titanate de baryum BaTiO3, le niobate de potassium KNbO3.

En substituant des cations différents sur les sites A ou B, on peut obtenir des solutions solides. C'est à cette catégorie qu'appartient surtout le plus fréquemment utilisé des piézoélectriques, le titano-zirconate de plomb (Pb (ZrxTi1-x) O3 abrégé en PZT), dans lequel les sites B sont occupés par des ions titane et zirconium. On peut aussi citer des solutions solides entre un relaxeur et le titanate de plomb comme les Pb (Zn1/3Nb2/3) 1-xTixO3, Pb (Mg1/3Nb2/3) 1-xTixO3, Pb (Sc1/2Nb1/2) 1-xTixO3 (abrégés en PZN-xPT, PMN-xPT et PSN-xPT respectivement). C'est dans des cristaux de ce type, pour certaines compositions spécifiques, que les cœfficients piézoélectriques les plus élevés connus sont mesurés.

Le niobate de lithium LiNbO3 et le tantalate de lithium LiTaO3 forment une famille à part. Ils sont tous deux ferroélectriques avec des températures de Curie de 1210°C et 660°C respectivement. Ils ont une structure proche de la maille ilménite de symétrie 3m ; ils n'en changent que ensuite des cations selon leur axe de polarisation (Li-Nb-*-Li-Nb-* contre Fe-Ti-*-Ti-Fe-* pour l'ilménite, où * sert à désigner un site vacant). Ils sont spécifiquement utilisés sous forme de monocristaux dans les systèmes à ondes acoustiques de surface[11].

Certains matériaux de structure cristalline tungstène-bronze sont aussi utilisés (Ba2NaNb5O5, Pb2KNb5O15). Parmi les autres matériaux piézoélectriques de synthèse, on peut citer l'orthophosphate de gallium (GaPO4), l'arséniate de gallium (GaAsO4) ou les cristaux langasites (dont le langasite de composition La3Ga5SiO14).

Semi-conducteurs

Les semi-conducteurs des groupes III-V de structure zinc-blende et II-VI de structure wurtzite sont aussi piézoélectriques[12].

Polymères

Il existe aussi des polymères qui présentent des propriétés piézoélectriques. Les plus fréquemment utilisés sont des polymères de synthèse, surtout le polyvinylidine difluoride (PVDF) (-CH2-CF2-) n et ses dérivés.

Dans la pratique, les polymères sont utilisés aussi en couche mince de 6 à 25 microns pour la réalisation de transducteurs ou d'hydrophones. Ils ont l'avantage de présenter une impédance acoustique plus faible, de permettre une mise en forme facile et par conséquent économique. En contrepartie, leurs cœfficients de couplage électromécanique restent modestes : 12 à 15 % pour le PVDF et jusqu'à 30 % pour le co-polymère P (VDF-TrFE). Ils présentent de plus des pertes diélectriques élevées[13].

Mise en forme

Indépendamment de sa composition chimique, un matériau piézoélectrique peut être étudié et utilisé sous différentes formes. Chacune a des spécificités qui peuvent être mises à profit dans une situation donnée.

Monocristaux

Un monocristal est un arrangement régulier et périodique d'atomes[14]. C'est sous cette forme que se présentent les matériaux piézoélectriques naturels comme le quartz ou la tourmaline, et c'est aussi sous cette forme qu'ils ont été utilisés dans les applications de première génération avant la mise au point des céramiques.

Les cristaux ferroélectriques peuvent posséder une structure en domaines. On peut distinguerra alors les monocristaux monodomaines et polydomaines selon qu'une ou plusieurs directions de polarisation cœxistent dans le cristal. Dans une description cristallographique, les cristaux polydomaines ne sont pas rigoureusement des monocristaux mais des cristaux maclés ; l'usage est cependant de continuer à parler de monocristal.

Les cœfficients piézoélectriques les plus élevés connus à ce jour sont obtenus pour des monocristaux polydomaines. Dans la pratique, ils présentent des inconvénients qui limitent leur utilisation dans énormément de systèmes : coût, disponibilité, etc.

Céramiques

Une céramique se compose de grains soudés entre eux par frittage. Les grains sont orientés statistiquement dans l'ensemble des directions ; leur taille peut être contrôlée par les conditions de fabrication.

C'est la forme la plus utilisée, essentiellement à cause de leur facilité de fabrication et des nombreuses propriétés qu'on peut obtenir en faisant fluctuer la composition chimique, les paramètres de la fabrication, etc.

Si on parvient à donner aux grains de la céramique une orientation préférentielle, on obtient alors une céramique texturée dont les propriétés sont généralement intermédiaires entre celles d'une céramique et celles d'un monocristal de même composition.

Composites

Dans un composite, le matériau piézoélectrique est divisé et plongé dans une matrice non piézoélectrique (une résine). Les composites ont montré leur intérêt comparé aux céramiques conventionnelles dans le domaine des transducteurs acoustiques hautes fréquences pour l'imagerie : leur meilleur cœfficient de couplage électromécanique et leur impédance acoustique plus adaptée permettent de perfectionner la résolution des images[13].

Couches minces

La piézoélectricité est une propriété à la base des microsystèmes électromécaniques (MEMS) comme les micromoteurs, les microvalves, les accéléromètres ou les membranes. Les avantages des couches minces piézoélectriques sont surtout leur faible puissance de fonctionnement, l'importance des forces générées et les larges gammes de fréquences d'utilisation. Les couches sont généralement fabriquées par un procédé sol-gel et ont une épaisseur comprise typiquement entre 0, 5 et 5 microns. Le matériau le plus utilisé est là aussi le PZT. Les cœfficients piézoélectriques mesurés sur les couches minces sont plus faibles que ceux du matériau massif à cause de l'effet du substrat[15].

Physique macroscopique et formalisme

Dans ce qui suit, on utilisera les notations standard[16]. On notera surtout :

De plus, on adopte la convention de sommation d'Einstein.

Approche thermodynamique

Dans une approche thermodynamique, la piézoélectricité est un cas spécifique de phénomène de couplage : le couplage entre les phénomènes élastiques et diélectriques d'un dispositif.

Selon les postulats de thermodynamique, on peut caractériser entièrement le dispositif à l'équilibre par la donnée de variables extensives. Il s'agit ici de l'entropie, de la déformation et de la polarisation du dispositif. Ces trois grandeurs sont les variables d'un potentiel thermodynamique dont les caractéristiques du dispositif se déduisent par dérivations successives. Les autres potentiels thermodynamiques, fonctions de variables intensives, sont obtenus du premier par transformation de Legendre. Une présentation des différents potentiels peut être trouvée dans différents ouvrages[17], [18].

Dans ce qui suit, on partira de l'énergie libre de Gibbs[19] qui est seulement fonction des grandeurs intensives : la température Θ, le champ électrique Ei et les contraintes Tjk. Elle est donnée par[20]


G(\Theta,E,T) = U - \Theta\sigma - T_{ij}S_{ij} - E_k D_k ∼

U est l'énergie interne du dispositif, fonction de l'entropie σ, de la déformation S et du déplacement électrique D. La prise en compte de la température n'est pas stricto sensu indispensable à la description thermodynamique de la piézoélectricité : les couplages thermiques étant faibles[21], il n'est le plus souvent pas fait de distinction entre les constantes piézoélectriques isothermes et adiabatiques.

Les constantes piézoélectriques se déduisent du potentiel thermodynamique par dérivée seconde :


d_{ijk} =  \left( \frac{\partialˆ2 G}{\partial E_i \partial T_{jk}} \right)_{\Theta}

L'ordre dans lequel on effectue les deux dérivations est indifférent (c'est le théorème de Schwarz). Selon l'ordre choisi, on fait apparaître deux expressions différentes correspondant aux deux manifestations de l'effet piézoélectrique :


d_{ijk} =  \left( \frac{\partial D_i}{\partial T_{jk}} \right)_{E,\Theta}
       =  \left( \frac{\partial S_{jk}}{\partial E_i} \right)_{T,\Theta}

La première expression reflète la variation de polarisation induite par l'application d'une contrainte : c'est l'effet piézoélectrique direct. La seconde indique qu'un champ électrique crée une déformation : c'est l'effet inverse. Ces deux effets sont par conséquent indissociables, et les cœfficients associés sont égaux. Dans le système international, on les exprime en mètres par volts m/V ou en coulomb par newton C/N.

L'intégration de ces relations conduit aux équations constitutives de la piézoélectricité. Avec ce choix de potentiel thermodynamique, celles-ci s'écrivent :


\left\{
\begin{array}{l l l l l}
S_{ij} 	& = & s_{ijkl}ˆE\,T_{kl} 	& + & d_{ijk}\,E_k \\
D_i 	& = & d_{ikl}\,T_{kl} 		& + & \varepsilonˆT_{ij}\,E_j
\end{array}
\right.

Une convention de notation nommée notation de Voigt sert à contracter les indices et de représenter les propriétés électromécaniques sous forme d'une matrice carrée. Les équations constitutives s'écrivent alors sous forme matricielle :


\left[\begin{array}{l}S_{\alpha} \\ D_i \end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{c|c}s_{\alpha\beta}ˆE & d_{\alpha j} \\\hline d_{i\beta} & \varepsilon_{ij}ˆT \end{array}\right]
\left[\begin{array}{l}T_{\beta} \\ E_j \end{array}\right]

D'autres choix de potentiels thermodynamiques (et par conséquent de variables indépendantes) sont envisageables ; il existe par conséquent quatre jeux d'équations constitutives. La représentation pertinente dépend généralement des conditions aux limites du problème reconnu. Les cœfficients piézoélectriques sont alors notés selon les cas e, g ou h. Ces différentes formes des équations de la piézoélectricité sont données dans la norme ANSI/IEEE[16].

Tenseur piézoélectrique

On représente par conséquent la piézoélectricité par un tenseur d'ordre 3, par exemple


S_{ij} = d_{kij} E_k∼

Le tenseur piézoélectrique a des propriétés de symétrie qui découlent directement de la symétrie du tenseur des déformations : puisque Sij = Sji, on a aussi dkij = dkji.

Dans le cas le plus général, il faut 18 cœfficients indépendants pour caractériser totalement les propriétés piézoélectriques d'un matériau. Ce nombre est réduit si la structure cristalline du matériau présente des symétries spécifiques : il n'en faut plus que 4 dans le quartz et 3 dans le titanate de baryum BaTiO3.


Cœfficients de couplage électromécanique

Article détaillé : Cœfficient de couplage électromécanique.

Les cœfficients de couplage électromécanique sont le plus souvent notés kij. Ils sont compris en 0 et 1 et peuvent être vus comme une sorte de rendement : ils traduisent la faculté d'un matériau piézoélectrique à transformer l'énergie mécanique qu'il reçoit en énergie électrique et vice versa[22]. C'est une caractéristique principale d'un matériau dans la conception de différents systèmes ; il est surtout relié particulièrement directement à la bande passante des transducteurs acoustiques.

On peut définir un cœfficient de couplage soit en quasi-statique, soit plus fréquemment en dynamique dans le cadre de l'étude de la propagation des ondes acoustiques dans le matériau.

Cœfficients piézoélectriques complexes

On utilise généralement les nombres complexes pour rendre compte des phénomènes de dissipation causés par les défauts du milieu. Ainsi, une permittivité complexe sert à représenter les pertes diélectriques d'un milieu, i. e. une faible conductivité. De même, des constantes élastiques complexes permettent de représenter des pertes mécaniques responsables de l'atténuation des ondes acoustiques.

Dans le même esprit, des cœfficients piézoélectriques complexes sont quelquefois utilisés par certains auteurs. Dans bien des cas néanmoins, il est envisageable de se limiter à des cœfficients piézoélectriques réels associés à des constantes diélectriques et élastiques complexes.

Théories et modélisations

Symétries de la structure cristalline

L'existence de la piézoélectricité dans un cristal est liée aux symétries de la structure cristalline. Surtout, un cristal ne peut pas être piézoélectrique si sa structure possède un centre de symétrie (structure dite centrosymétrique).

Généralement, on classe les cristaux suivant leurs symétries en 230 groupes d'espace regroupés en 32 classes cristallines. Il existe 21 classes non centrosymétriques, dont 20 sont piézoélectriques. Parmi ces classes piézoélectriques, 10 possèdent une polarisation électrique spontanée et sont dites polaires. Leur polarisation spontanée fluctue avec la température, ces cristaux sont par conséquent pyroélectriques. Parmi les cristaux pyroélectriques enfin, certains sont dits ferroélectriques et se définissent par le fait qu'il est envisageable de renverser leur polarisation électrique permanente en appliquant un fort champ électrique dans le sens opposé.


32 classes cristallines
20 classes piézoélectriques non piézoélectriques
10 classes polaires pyroélectriques non pyroélectriques
ferroélectriques non ferroélectriques
ex : BaTiO3, PbTiO3 ex : Tourmaline ex : Quartz

L'absence de centre de symétrie dans une structure s'explique quelquefois de manière naturelle par la géométrie. Dans le quartz par exemple, la disposition des ions positifs et négatifs conduit naturellement à la création d'un dipôle électrique quand la structure est déformée par une contrainte non hydrostatique. De même, dans les polymères PVDF, la symétrie est naturellement rompue par la substitution de deux atomes d'hydrogène par deux atomes de fluor, bien plus électronégatifs, qui attirent à eux les charges électroniques négatives.

Dans d'autres cas, surtout les ferroélectriques, la brisure de symétrie met en jeu des phénomènes plus complexes. C'est surtout le cas des ferroélectriques modèles qui possèdent à hautes températures une structure cristalline centrosymétrique, non piézoélectrique. À basses températures, la structure de haute symétrie devient instable et le cristal bascule dans une phase de plus basse. L'énergie d'interaction entre dipôles devient prépondérante et facilite le décalage des ions en dehors de leur position de haute symétrie, et la naissance d'un ordre ferroélectrique à longue portée.

Certains éléments purs cristallisent aussi dans des structures non centrosymétriques ; c'est le cas du tellure et du sélénium[23]. La brisure de symétrie s'explique dans ce cas par une distorsion de Peierls  : les électrons sont situés en liaisons covalentes de manière dissymétrique autour des atomes.

La symétrie peut aussi être brisée en moyenne uniquement à une échelle de longueur plus grande que celle de la maille cristalline. Ainsi, le silicium n'est pas piézoélectrique, mais un effet piézoélectrique a été mis en évidence dans le silicium poreux[24]. De même, un effet piézoélectrique peut être génèré par un couplage entre la polarisation et un gradient de déformation (flexoélectricité) [25].

Calculs ab initio

Généralement, les méthodes ab initio visent à calculer les propriétés d'un matériau à partir de l'unique connaissance de sa composition chimique.

Dans le cas des piézoélectriques, la majorité de ces calculs sont réalisés dans le cadre de la théorie de la fonctionnelle densité (DFT) dans l'approximation de la densité locale (LDA) [26]. Ces calculs ont longtemps buté sur plusieurs difficultés spécifiques aux matériaux ferroélectriques. En effet, les approximations classiquement utilisées dans les calculs ab initio sont connues pour introduire des biais qui peuvent fausser l'estimation des volumes. Dans la majorité des matériaux, ces erreurs de quelques pourcents sont insignifiantes, mais pas dans les ferroélectriques, extrêmement sensibles aux variations de volume (ou aux effets de la pression) [26].

Les premiers calculs ab initio de cœfficients piézoélectriques ont été publiés en 1989[27] et ont montré que ces théories permettaient de prédire la naissance de la ferroélectricité.

Modélisation des matériaux hétérogènes

Dans la pratique, les matériaux piézoélectriques sont fréquemment des matériaux hétérogènes (céramiques, composites, monocristaux ferroélectriques polydomaines). La compréhension des propriétés macroscopiques effectives passe par la compréhension du rôle exact de ces multiples interfaces présentes dans le matériau. On introduit alors une distinction entre les contributions intrinsèque et extrinsèque à l'effet piézoélectrique. La contribution intrinsèque sert à désigner l'effet piézoélectrique du matériau reconnu comme homogène ; les contributions extrinsèques sont l'ensemble des contributions dues aux interfaces présentes dans la microstructure.

Les contributions extrinsèques sont spécifiquement importantes pour les applications : elles sont à l'origine de non-linéarités, de dispersion, de vieillissement qui peuvent être tout autant de problèmes pour la conception et l'utilisation de systèmes piézoélectriques[28].

Le problème général est rendu spécifiquement ardu par la multiplicité des échelles de longueurs à prendre en compte. Sa résolution nécessite l'adoption d'un certain nombre d'hypothèses simplificatrices. En mécanique, pour les matériaux purement élastiques (non piézoélectrique), ce problème est du domaine de la théorie des milieux effectifs pour laquelle plusieurs méthodes d'homogénéisation ont été développées. Les méthodes classiques (problème d'Eshelby, approximations de Voigt et Reuss) peuvent être étendues aux cas piézoélectriques, mais ne peuvent pas prendre en compte certains effets aux interfaces, surtout la mobilité des parois de domaines.

Les méthodes de calcul par éléments finis, utilisées fréquemment d'autre part dans la conception des systèmes piézoélectriques, peinent à prendre en compte l'ensemble des échelles de longueurs nécessaires dans le cas de matériaux hétérogènes désordonnés. Des méthodes par éléments finis multi-échelles ont cependant été proposées.

On utilise aussi des méthodes inspirées des méthodes utilisées pour les matériaux composites. Il est ainsi envisageable de trouver des solutions exactes au problème des structures lamellaires, en particulier pertinentes dans le cas des ferroélectriques[29].

Ondes acoustiques et résonateurs

La question de la propagation des ondes élastiques dans les milieux piézoélectriques est spécifiquement importante étant donné que un très grand nombre d'applications de la piézoélectricité en tirent parti.

Dans un piézoélectrique, les propriétés électriques et élastiques étant couplées, il est habituellement indispensable de résoudre le problème en considérant conjointement les équations de l'élasticité et les équations de Maxwell. Le traitement de problème complet est quelquefois nommé «piézoélectromagnétisme»[30].

Dans la pratique, les ondes acoustiques qu'on considère ont des fréquences inférieures de plusieurs ordres de grandeurs à celles des ondes électromagnétiques. On se contente par conséquent d'une approximation quasi-statique en complétant les équations classiques de l'élasticité par les équations de l'électrostatique. On néglige ainsi le rôle du champ magnétique.

Ondes de volumes

Dans un solide piézoélectrique, la propagation d'une onde élastique de vecteur d'onde n est régie par une équation aux valeurs propres nommée équation de Christoffel[31] :


\Gamma_{ik} u_k = \rho Vˆ2 u_i∼

où les ui sont les composantes du déplacement, ρ est la masse volumique du solide et Γik est la matrice de Christoffel[32]


\Gamma_{ik} = \left(c_{ijkl}ˆE + \frac{e_{uij}e_{vkl}n_u n_v}{\varepsilon_{rs}ˆSn_r n_s}\right)n_j n_l

Pour retrouver une forme analogue au cas purement élastique, on peut l'écrire :


\Gamma_{ik} = \overline c_{ijkl} n_j n_l

où les constantes \overline c sont nommées constantes élastiques «durcies». Il faut cependant prendre garde que ces constantes ne sont pas identiques à de vraies constantes élastiques car elles dépendent de la direction de propagation reconnue[33].

La résolution de l'équation de Christoffel conduit à trois valeurs propres réelles et positives correspondant aux vitesses de propagation de trois ondes. On les obtient en résolvant


|\Gamma_{ik} - \rho Vˆ2 \delta_{ik}|=0∼

Les vecteurs propres correspondants donnent la polarisation des ondes. Celle des trois ondes dont la polarisation est la plus proche de la direction de propagation est dite quasi-longitudinale et les deux autres quasi-transverse. Occasionnellement spécifiques, généralement le long de directions de haute symétrie, on peut avoir des ondes purement longitudinale (onde de compression) ou purement transverse (onde de cisaillement).

Ondes de surfaces

Méthodes de mesures et de caractérisation

Généralement, on entend par caractérisation d'un matériau la détermination d'un certain nombre de ses paramètres permettant d'évaluer sa qualité et son adaptation à une application donnée. On caractérise un matériau piézoélectrique en mesurant surtout ses propriétés électromécaniques, ses cœfficients de couplage électromécanique ou son facteur de qualité mécanique selon l'application visée.

Mesures d'impédance complexe

Évolution de l'impédance (module et phase) d'un résonateur piézoélectrique au voisinage de la résonance. Sur cet exemple, la valeur de l'impédance fluctue sur 4 ordres de grandeurs.

Cette méthode, quelquefois nommée Méthode IRE[34], est la méthode standard de caractérisation des céramiques piézoélectriques. En mesurant l'impédance complexe de différents échantillons de formes et de dimensions différentes selon la fréquence, on remonte aux différentes caractéristiques du matériau : propriétés électromécaniques, cœfficients de couplage, facteurs de qualités mécanique. La procédure est normalisée dans la norme de l'IEEE[16] et décrite au moins partiellement dans les ouvrages de référence[35].

En pratique, on taille plusieurs échantillons de façon à isoler un mode propre de vibration spécifique, c'est-à-dire à rejeter les autres modes propres à des fréquences bien plus hautes ou bien plus basses. Au voisinage de la fréquence de ce mode propre, le spectre d'impédance de l'échantillon présente un minimum et un maximum à des fréquences dites de résonance et d'anti-résonance. Ces deux fréquences permettent directement de calculer une constante élastique et un cœfficient de couplage électromécanique. En mesurant indépendamment (en général à basses fréquences) la constante diélectrique des échantillons, on peut ensuite calculer un cœfficient piézoélectrique. En effectuant cette opération pour plusieurs modes propres de vibration, on peut ainsi déterminer l'ensemble des propriétés du matériau.

Le tableau suivant présente trois exemples de modes de vibrations utilisés pour la détermination de quelques cœfficients de couplage, cœfficients piézoélectriques et compliances élastiques d'une céramique ou d'un monocristal piézoélectrique. Dans ce tableau, fM et fm désignent les fréquences où l'impédance est maximale et minimale respectivement[36], L, e et ρ sont la longueur, l'épaisseur et la masse volumique de l'échantillon. La flèche donne la direction de polarisation de l'échantillon ; les électrodes sont représentées par les zones hachurées.

PiezoResonanceMethod-33.PNG Cœff.
de couplage
k_{33}ˆ2 = \frac{\pi}{2}\frac{f_m}{f_M}\tan\left[\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{f_m}{f_M}\right)\right]
Compliance
élastique
s_{33}ˆD = 1 / (4\rho f_Mˆ2 Lˆ2)\quad ; \quad s_{33}ˆE = s_{33}ˆD / (1-k_{33}ˆ2)
Cœff.
piézoélectrique
d_{33} = k_{33}\sqrt{\varepsilon_{33}ˆT\,s_{33}ˆE}
PiezoResonanceMethod-31.PNG Cœff.
de couplage
\frac{k_{31}ˆ2}{1-k_{31}ˆ2} = \frac{\pi}{2}\frac{f_M}{f_m}\tan\left[\frac{\pi}{2}\left(\frac{f_M}{f_m}-1\right)\right]
Compliance
élastique
s_{11}ˆE = 1 / (4\rho f_mˆ2 Lˆ2)
Cœff.
piézoélectrique
d_{31} = k_{31}\sqrt{\varepsilon_{33}ˆT\,s_{11}ˆE}
PiezoResonanceMethod-15.PNG Cœff.
de couplage
k_{15}ˆ2 = \frac{\pi}{2}\frac{f_m}{f_M}\tan\left[\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{f_m}{f_M}\right)\right]
Compliance
élastique
s_{55}ˆD = 1 / (4\rho f_Mˆ2 eˆ2)\quad ; \quad s_{55}ˆE = s_{55}ˆD / (1-k_{15}ˆ2)
Cœff.
piézoélectrique
d_{15} = k_{15}\sqrt{\varepsilon_{11}ˆT\,s_{55}ˆE}

Méthode de Berlincourt

La méthode de Berlincourt, appelée selon le physicien Don Berlincourt, est une mesure de l'effet piézoélectrique direct. L'échantillon à mesurer est coincé entre deux pièces métalliques et soumis à une contrainte cyclique. Un condensateur est connecté en parallèle, de sorte que le courant produit par l'effet piézoélectrique vient charger le condensateur. Une mesure de la tension aux limites du condensateur sert à calculer la charge totale et de remonter au cœfficient piézoélectrique d33. L'amplitude de la contrainte appliquée est mesurée selon un principe analogue, avec un élément piézoélectrique connu positionné en série avec l'échantillon.

Cette méthode est rapide, facile à mettre en œuvre et assez économique. Au contraire de la méthode précédente, elle permet d'obtenir le signe du cœfficient piézoélectrique d33. Divers appareils sont disponibles dans le commerce. Les modèles les plus élaborés permettent d'étudier les non-linéarités en faisant fluctuer la fréquence ou l'amplitude de la contrainte appliquée.

Les limites de cette technique tiennent à la difficulté de produire dans l'échantillon une contrainte idéalement homogène. La forme des contacts est importante : un contact en pointe aura tendance à créer des contraintes inhomogènes[37] tandis qu'un contact plat tendra à créer des contraintes latérales à cause des effets de frictions et fera baisser la valeur mesurée[38].

Méthodes acoustiques

Il existe plusieurs méthodes acoustiques servant à déterminer les caractéristiques d'un matériau piézoélectrique.

La méthode la plus utilisée consiste à émettre une impulsion sur une face d'un échantillon et de mesurer l'écho de l'onde ainsi créée. La mesure de la durée écoulée entre l'émission de l'onde et son écho sert à mesurer sa vitesse et de là de calculer les constantes élastiques «durcies». Cette méthode, comme la suivante, nécessite une mesure indépendante des constantes diélectriques du matériau.

La spectroscopie de résonance acoustique consiste à remonter aux propriétés électromécaniques d'un matériau à partir des fréquences propres de vibration d'un objet. C'est une méthode utilisée fréquemment en mécanique. Son utilisation pour les matériaux piézoélectriques est plus délicate car le nombre de paramètres à déterminer est plus grand.

Autres méthodes

Il est aussi envisageable de mesurer la vitesses des ondes acoustiques par diffusion Brillouin. La diffusion Brillouin est la diffusion inélastique de la lumière par les ondes élastiques se propageant dans le cristal. Son utilisation pour la détermination des constantes élastiques est classique pour les matériaux non piézoélectriques[39]. Elle peut être étendue au cas des piézoélectriques ; elle a été surtout utilisée pour la détermination des propriétés de certains piézoélectriques modèles (BaTiO3[40], PbTiO3[41], KNbO3[42]) mais souffre de plusieurs limitations et n'est utilisée qu'à des fins de recherche.

L'interférométrie laser sert à mesurer directement un déplacement en fonction d'un champ électrique appliqué. Il est envisageable d'en déduire un cœfficient piézoélectrique. C'est une méthode bien moins générale et moins complète que les méthodes précédentes, mais elle permet d'effectuer des mesures sur des systèmes piézoélectriques intégrés comme les MEMS.

Propriétés de quelques matériaux types

Les cœfficients rapportés dans le tableau suivant relient l'allongement d'une barre (sans unité) au champ électrique appliqué entre ses deux extrémités (en V/m). L'unité du dispositif international pour ce cœfficient est par conséquent le mètre par volt (m/V). Les indices (33) se rapportent à la direction cristallographique correspondant à la longueur de la barre.

Matériau Cœff. piézo.
d33 (10-12 m/V)
Permittivité relative
\varepsilon_{33}
Module d'Young
c_{33}ˆE (GPa)
Cœff. de couplage
k33 (%)
Quartz[43] 2, 3 4, 5 80 10
BaTiO3 (céramique) [43] 190 1700 106 52
PbTiO3 120
PZT (45/55) [43] 140 450 71 60
PZN-9PT 2500
LiNbO3[44] 6 30 2, 45 17

Applications

Transducteurs acoustiques

Microphone de contact piézoélectrique sur une guitare classique.
Article connexe : Transducteur.

Les matériaux piézoélectriques permettent de convertir une onde acoustique en signal électrique et vice versa. Ils forment le cœur des transducteurs acoustiques utilisés pour émettre ou détecter des ondes acoustiques dans l'ensemble des gammes de fréquences. On les retrouve dans plusieurs domaines.

Résonateurs piézoélectriques

Article détaillé : Quartz (électronique) .

Il est envisageable de réaliser des résonateurs piézoélectriques particulièrement stables (dérivant avec les changements de température et au cours du temps) et avec des fréquences particulièrement précises. La vibration piézoélectrique particulièrement stable sert à réaliser des références de temps exploitables en électronique. Les montres à quartz utilisent la résonance d'un diapason en quartz pour générer les impulsions régulières d'horloge.

Une caractéristique principale d'un oscillateur est son facteur de qualité qui mesure la finesse de sa résonance mécanique. Il est généralement noté Q. Les quartz atteignent typiquement des facteurs de qualité de l'ordre de 104 à 106.

Les microbalances piézoélectriques, et spécifiquement les microbalances à quartz, reposent aussi sur ce principe et permettent des mesures de masses particulièrement précises.

Capteurs de pression ou d'accélération

Article connexe : Capteur.

Une pression exercée sur un matériau piézoélectrique génère des charges qu'on peut mesurer électroniquement. Les matériaux piézoélectriques sont par conséquent des candidats naturels pour les applications basées sur la détection de pressions. Des capteurs de pression piézoélectriques sont utilisés surtout pour l'automobile (pression des pneus), l'aéronautique (pression dans les tuyères) ou la musique (batterie électronique).

Sur le même principe, il est envisageable de mesurer une accélération. On peut ainsi réaliser des capteurs inertiels (accéléromètre à lame vibrante, gyromètre vibrant Coriolis) qui peuvent être utilisés dans les centrales à inertie ou plus fréquemment dans des applications de plus basse précision : coussin gonflable de sécurité, guidage, manette de jeu vidéo (wii).

Actionneurs et moteurs piézoélectriques

Les actionneurs et moteurs piézoélectriques tirent profit de l'effet piézoélectrique inverse : dans ces systèmes, un champ électrique est utilisé pour commander une déformation ou un déplacement. On nomme actionneur piézoélectrique des actionneurs monoblocs contrôlables, utilisant la déformation induite par une tension électrique pour générer le déplacement. Les moteurs piézoélectriques se distinguent des actionneurs en ce qu'ils ne sont pas monoblocs mais composés de plusieurs parties mobiles entre elles.

Actionneurs

Article connexe : Actionneur.

Il existe essentiellement deux types d'actionneurs piézoélectriques :

Aujourd'hui, ce sont les céramiques multicouches qui sont habituellement utilisées dans les actionneurs piézoélectriques. L'intégration de ce type de matériau impose des précautions spécifiques. On peut citer surtout l'obligation d'assurer une précontrainte mécanique ou d'éviter les efforts en torsion. Sous réserve d'une bonne conception et utilisation, les actionneurs piézoélectriques sont extrêmement fiables et robustes.

Un des premiers domaines d'application a été le domaine spatial, où leur faible échauffement et leur haute densité énergétique sont des atouts majeurs. Ils sont aussi utilisés pour le nanopositionnement, la génération de vibrations, le contrôle actif de vibrations[45].

Aujourd'hui, hormis le domaine spatial, les actionneurs piézoélectriques sont utilisés dans plusieurs domaines :

Moteurs piézoélectriques

Article détaillé : Moteur piézoélectrique.

Les moteurs piézoélectriques sont utilisés dans les dispositifs autofocus d'appareils photographiques, dans les mécanismes de vitre électrique de voiture, et généralement dans les applications où la taille réduite de ces moteurs répond à des contraintes volumiques[47].

Générateurs et transformateurs

L'allume-gaz et le briquet «électronique» sont des exemples de la manière dont les piézoélectriques permettent de produire de fortes tensions. L'effet piézoélectrique direct sert à générer de très fortes tensions, supérieures à la tension de claquage de l'air 30 kV/cm pour un écartement de quelques millimètres. Quand cette tension est atteinte, une étincelle de décharge est produite et mise à profit pour allumer le gaz du briquet ou de la gazinière.

Transformateurs piézoélectriques

Un transformateur piézoélectrique est un multiplicateur de tension alternative. Contrairement au transformateur classique qui utilise un couplage magnétique, le couplage mis à profit est acoustique. Par effet piézoélectrique inverse, une tension d'excitation sert à générer (avec électrodes localisées sur une des deux extrémités de la barre) une contrainte alternative dans une barre d'un matériau fortement piézoélectrique (une céramique PZT par exemple). Cette contrainte permet la mise en vibration de la barre à une fréquence choisie pour correspondre à une fréquence de résonance. Par effet piézoélectrique direct, une tension est générée sur des électrodes localisées sur la seconde extrémité de la barre. Cette tension, qui bénéficie de l'augmentcation du mouvement dû à la résonance, peut être 1 000 fois plus élevée.

Microgénérateurs

Les piézoélectriques sont aussi au cœur d'applications plus récentes visant à récupérer l'énergie présente dans notre environnement sous différentes formes ou effectuées par des mouvements quotidiens[48].

Un exemple étudié en laboratoire est l'incorporation d'un film piézoélectrique dans les chaussures pour produire de l'énergie grâce à la pression du talon au cours de la marche. Les faibles puissances produites pourraient suffire à terme à alimenter certains systèmes électroniques. Cependant, la mise au point de tels systèmes piézoélectriques reste délicate et de nombreux obstacles restent à surmonter.

Les premiers prototypes, dits microgénérateurs, sont apparus en 2006 (cf démonstrateur de sonnette de maison sans fil et sans pile de la société française Arveni s. a. s. ). Ils récupèrent par exemple l'énergie mécanique apportée par la pression du doigt sur un bouton. L'électricité ainsi récupérée permet de alimenter un circuit radio, qui émet un message vers le récepteur. Il existe aussi des applications industrielles, comme les réseaux de capteurs sans fil où la source d'énergie est la vibration d'une machine par exemple. Les applications sont la maintenance préventive, la surveillance de santé des structures, ou le contrôle de processus.

La récupération d'énergie par microgénérateur piezoélectrique, est un domaine technique émergent. A terme, l'idée est de remplacer les piles (qui contiennent fréquemment des matériaux polluants) par des microsources d'énergie renouvelable, pour l'ensemble des applications communicantes, où une énergie mécanique extérieure existe.

Filtres

Il est envisageable de mettre à profit les résonances mécaniques d'échantillons pour réaliser des filtres en électronique[49].

Les filtres à ondes acoustiques de surface (filtres SAW) quant à eux utilisent les propriétés de propagation des ondes à la surface du matériau.

Microscopie à force piézoélectrique (PFM)

La microscopie à force piézoélectrique (en anglais piezoresponse force microscopy - PFM) est un mode spécifique d'utilisation du microscope à force atomique : l'application d'une tension entre la pointe et l'échantillon sert à sonder la structure en domaines ferroélectriques à l'échelle nanométrique[50].

Notes et références

  1. Antoine-César Becquerel, «Expériences sur le développement de l'électricité par la pression ; lois de ce développement», dans Annales de chimie et de physique, vol.  XXII, 1823, p.  5-34 
  2. Antoine-César Becquerel, «De quelques phénomènes électriques produits par la pression et le clivage des métaux», dans Annales de chimie et de physique, vol.  XXXVI, 1827, p.  265-271 
  3. Voir l'introduction aux leçons de René Just Haüy dans Étienne Guyon et , Leçons de physique, de chimie et d'histoire naturelle, Éditions Rue d'Ulm, coll. «L'École normale de l'an III», Paris, 2006 
  4. Christine Blondel, «Haüy et l'électricité : de la démonstration spectacle à la diffusion d'une science newtonienne», dans Revue d'histoire des sciences, vol.  50, 1997, p.  265-282 [  ] 
  5. G. Lippman, «Principe de la conservation de l'électricité», dans Annales de chimie et de physique, vol.  24, 1881, p.  145 texte intégral ] 
  6. P. Curie et J. Curie, «Contractions et dilatations produites par des tensions électriques dans les cristaux hémièdres à faces inclinées», dans Comptes rendus de l'Académie des Sciences, vol.  XCIII, séance du 26 décembre 1881, p.  1137 texte intégral ] 
  7. (de) F. Pockels, Pyro- und piezœlektrizität, Elektrizität und Magnetismus I (Handbuch der Physik vol 4) , Dr A Winkelmann, Leipzig, 1905, p.  766–93 
  8. (en) Warren P. Mason, «Piezœlectricity, its history and applications», dans Journal of the Acoustical Society of America, vol.  70, no 6, 1981, p.  1561 
  9. (en) Arthur Ballato, «Piezœlectricity : Old Effect, New Thrusts», dans IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferrœlectrics, and Frequency Control, vol.  42, 1995, p.  916 
  10. Une histoire de la piézoélectricité
  11. Ikeda, 1996, p.  218-219
  12. (en) Fred S. Hickernell, «The Piezœlectric Semiconductor and Acoustœlectronic Device Development in the Sixties», dans IEEE Transactions on ultrasonics, ferrœlectrics, and frequency control, vol.  52, 2005, p.  737 texte intégral ] 
  13. (en) Shung KK, Cannata JM, Zhou QF, «Piezœlectric materials for high frequency medical imaging applications : A review», dans Journal of Electroceramics, vol.  19, 2007, p.  139-145 
  14. Voir Cristal pour une définition plus rigoureuse.
  15. (en) N. Setter et al. , «Ferrœlectric thin films : Review of materials, properties and applications», dans Journal of Applied Physics, vol.  100, 2006, p.  051606 
  16. (en) ANSI/IEEE Standard on Piezœlectricity, 1996 [détail des éditions] 
  17. Ikeda 1996, chap 2
  18. Lines & Glass, 1977
  19. Il n'existe pas vraiment de termes bien identifiés pour désigner les potentiels thermodynamiques dans le cas des milieux diélectriques.
  20. Ikeda, p.  11
  21. Ikeda, p.  15
  22. Éléments d'explications sur les cœfficients de couplage électromécanique
  23. (en) D. Royer and E. Dieulesaint, «Elastic and piezœlectric constants of trigonal selenium and tellurium crystals», dans Journal of Applied Physics, vol.  50, 1979, p.  4042 texte intégral ] 
  24. (en) S. Vinikman-Pinasy, E. N. Ribak, «Piezœlectric and piezooptic effects in porous silicon», dans Applied Physics Letters, vol.  88, 2006, p.  111905 
  25. (en) J. Fousek, L. E. Cross, D. B. Litvin, «Possible piezœlectric composites based on flexœlectric effect», dans Materials Letters, vol.  39, 1999, p.  259 
  26. R. E. Cohen, «First-Principles Theories of Piezœlectric Materials» dans Piezœlectricity (2008)
  27. (en) K. M. Rabe, C. H. Ahn et J. -M. Triscone et R. Resta et D. Vanderbilt, Physics of Ferrœlectrics - A Modern Perspective, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-34590-9) , «Theory of Polarization : A Modern Approach», p.  31-68 
  28. (en) Dragan Damjanovic, «Contribution to the piezœlectric effect in ferrœlectric single crystals and ceramics», dans Journal of the American Ceramic Society, vol.  88, 2005, p.  2663-2676 
  29. W. Kreher, «Effective Medium Theories» dans Piezœlectricity (2008) .
  30. (en) Jiashi Yang, «A Review of a Few Topics in Piezœlectricity», dans Applied Mechanics Reviews, vol.  59, 2006, p.  335-345 
  31. Dieulesaint & Royer
  32. Dieulesaint & Royer
  33. Dieulesaint & Royer
  34. en référence à la première normalisation qui en fut donnée par l'IRE : (en) «IRE Standards on Piezœlectric Crystals», dans Proceedings of the IRE, 1961, p.  1162-1169 
  35. Diverses présentations sont aussi disponibles en ligne, voir par exemple : (en) Procedures for Measuring Properties of Piezœlectric Ceramics ou Texte disponible sur arXiv : 0711.2657. (en) .
  36. Travailler avec les maximum et minimum de l'impédance | Z | n'est envisageable que si les pertes sont négligeables. Dans le cas opposé, il faut définir plus exactement les fréquences caractéristiques du dispositif.
  37. (en) J. Erhart and L. Burianova, «What is really measured on a d33-meter ?», dans Journal of the European Ceramic Society, vol.  21, 2001, p.  1413-1415 
  38. (en) A. Barzegar, D. Damjanovic, and N. Setter, «The effect of boundary conditions and sample aspect ratio on apparent d33 piezœlectric cœfficient determined by direct quasistatic method», dans IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferrœlectrics and Frequency Control, vol.  51, 2003, p.  262-270 
  39. (en) R. Vacher et L. Boyer, «Brillouin Scattering : A Tool for the Measurement of Elastic and Photœlastic Constants», dans Physical Review B, vol.  6, 1972, p.  639 
  40. (en) Z. Li, S. K. Chan, M. H. Grimsditch, E. S. Zouboulis, «The elastic and electromechanical properties of tetragonal BaTiO3 single crystals», dans Journal of Applied Phyics, vol.  70, 1991, p.  7327 
  41. (en) A. G. Kalinichev, J. D. Bass, B. N. Sun, D. A. Payne, «Elastic properties of tetragonal PbTiO3 single crystals by Brillouin scattering», dans Journal of Materials Research, vol.  12, 1997, p.  2623 
  42. (en) A. G. Kalinichev, J. D. Bass, C. S. Zha, P. Han, D. A. Payne, «Elastic properties of Orthorhombic KNbO3 single crystals by Brillouin scattering», dans Journal of Applied Physics, vol.  74, 1993, p.  6603 
  43. Piezœlectricity sur le site de Morgan Electroceramics.
  44. Ikeda 1996, p.  220
  45. Exemples de publications sur les actionneurs piézoélectriques
  46. Auto-innovations : actualité moteur et transmission
  47. Moteurs piézoélectriques par Bertrand Nogarede sur Techniques de l'ingénieur.
  48. (en) S. R. Anton, H. A. Sodano, «A review of power harvesting using piezœlectric materials (2003-2006) », dans Smart Materials and Structures, vol.  16, 2007, p.  R1-R21 
  49. (en) Description de filtres à base de céramiques piézoélectriques
  50. A. Gruverman and S. V. Kalilin, Piezoresponse force microscopy and recent advances in nanoscale studies of ferrœlectrics, Journal of Material Sciences 41, 107-116 (2006).


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article en anglais intitulé «Piezœlectricity» (voir la liste des auteurs)

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes

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